Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника является важной характеристикой в геометрии, позволяющей решать различные задачи и доказывать теоремы. Эта величина зависит от количества сторон фигуры.
Содержание
Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника является важной характеристикой в геометрии, позволяющей решать различные задачи и доказывать теоремы. Эта величина зависит от количества сторон фигуры.
Формула суммы внутренних углов
Для выпуклого n-угольника сумма внутренних углов (S) вычисляется по формуле:
S = (n - 2) × 180°
где n - количество сторон (и углов) многоугольника.
Примеры для различных фигур
| Фигура | Количество сторон (n) | Сумма углов |
| Треугольник | 3 | (3-2)×180° = 180° |
| Четырехугольник | 4 | (4-2)×180° = 360° |
| Пятиугольник | 5 | (5-2)×180° = 540° |
| Шестиугольник | 6 | (6-2)×180° = 720° |
Доказательство формулы
Формула выводится следующим образом:
- Из любой вершины n-угольника проводим все возможные диагонали
- Многоугольник разбивается на (n - 2) треугольника
- Сумма углов каждого треугольника равна 180°
- Общая сумма углов равна (n - 2) × 180°
Свойства выпуклых многоугольников
- Все внутренние углы меньше 180°
- Любая диагональ лежит внутри многоугольника
- Сумма внешних углов всегда равна 360°
- Количество диагоналей вычисляется по формуле n(n-3)/2
Практическое применение
Знание суммы углов многоугольника позволяет:
- Определять неизвестные углы фигуры
- Доказывать теоремы о правильных многоугольниках
- Решать задачи на построение
- Анализировать свойства геометрических конструкций
Эта формула является фундаментальной для планиметрии и находит применение в различных областях математики и ее приложений.
